Sets

by Ted French

Elements, Set-Builder Notation, Intersectiounen, Venn Diagramme

Sets Iwwerblick

Mathematikmat ass e Satz eng Sammlung oder Lëscht vun Objeten.

Sets sinn net nëmmen aus Zuelen, mee kann alles maachen wéi:

de Liewensmëttel an Äre Frigoen;
d'Planeten am Sonnesystem;

Och wann Sets alles kann enthalen, gi se oft op Zuelen, déi mat engem Muster passen oder op irgendeng Manéier verwandt sinn wéi zB:

Rei positiv Zuelen manner wéi 10: (0, 2, 4, 6, 8);
Rei vun Faktoren fir d'Nummer 12: (1, 2, 3, 4, 6, 12).

Notéieren

D'Objeten an engem Set ginn Elemente genannt an déi folgend Notation oder Konventiounen ginn mat Setz benotzt:

Eenzel Haaptbuchstabe si benotzt fir Sets ze identifizéieren - wéi J, E oder F ;
Manner Schrëft oder Zuelen si fir Elementer vun engem Set benotzt;
Curly-Klammern {} bezeechent een Element vun engem Element;
Kommater ginn benotzt fir Elementer ze trennen.

Also, Beispiller vu Set Notation wäerten sinn:

J = {Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun}

E = {0, 2, 4, 6, 8};

F = {1, 2, 3, 4, 6, 12};

Element Bestellung a Widderhuelen

Elementer an engem Set mussen net an enger bestëmmter Reiefolleg sinn, sou datt de Set J genannt konnt och geschriwwe ginn:

J = {Saturn, Jupiter, Neptun, Uranus}

oder

J = {Neptun, Jupiter, Uranus, Saturn}

Repeatement Elementer änneren net den Set och, also:

J = {Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun}

J = {Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun, Jupiter, Saturn}

sinn déi selwescht Strof, well béidën nëmmen fënnef verschidden Elementer: Juegd, Saturn, Uranus a Neptun.

Sets an Ellipses

Wann et eng onendlech - oder onlimitéiert - Zuel vun Elementer an engem Set ass, gëtt eng Ellipsis (...) benotzt fir ze weisen, datt d'Muster vun der Serie ëmmer an där Richtung weider geet.

Zum Beispill gëtt de Satz vun natierleche Zuelen beginn op Null, awer huet keen Enn, also kann et an der Form geschriwwe ginn:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }

Eng aner speziell Zuel vu Zuelen, déi keen Enn huet, ass den Ensemble vun ganzer Ronnen. Well ganze sinn ganz positiv oder negativ, awer de Satz benotzt Ellipsen op béide Säiten, fir ze weisen datt de Set fir ëmmer an zwou Richtungen weider geet:

{ ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }

Eng aner Benotzung fir Ellipsäeren ass d'Mëtt vun engem grousse Set wéi:

{0, 2, 4, 6, 8, ..., 94, 96, 98, 100}

D'Ellipsis weist, datt d'Muster - souguer Zuelen nëmme - duerch den ongeschriwwenen Deel vum Set weider geet.

Speziell Sets

Spezial Sets déi benotzt ginn oft ginn identifizéiert spezifesch Bréiwer oder Symboler. Dorënner:

Ø oder {} - déi eidel Set - e Set, deen keng Elementer huet ;
U - de universelle Satz - e Set, deen all Elementer relativ zu enger definéierter Definitioun ass ;
Z - de Set vun alle ganzer ganzen Zuelen: Z = { ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... };
N - Natierlech Zuelen (positiv Ganzzahlen): N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }.

Roster vs. Beschreiwe Methoden

Schreift oder d'Elementer vun engem Set auszeschätzen, wéi zum Beispill de Satz vun den banneschten oder planetaren Planéiten an eisem Sonnesystem, gëtt als Noterkontroll oder der Approche benotzt .

T = {Quecksilber, Venus, Äerd, Mars}

Eng aner Optioun fir d'Identifikatioun vun den Elementer vun engem Satz ass d' beschreiende Method, déi eng kuerz Erklärung oder Numm benotzt fir den Ensembel wéi:

T = {terrestrell Planeten}

Set-Builder Notation

Alternativ zu der Opsiicht a beschreiende Methoden ass d' Set-Builder-Notation benotzen , dat ass eng kuerz Entschiedegung, déi d'Regel beschreift datt d'Elementer vum Set no folgend sinn (d'Regel déi se Member vun engem bestëmmten Satz mécht) .

Set-Builder Notation fir den Satz vun natierleche Zuelen méi wéi Null ass:

{x | x ∈ N, x > 0 }

oder

{x: x ∈ N, x > 0 }

In Set-Builder Notation ass de Bréif "x" eng Variabel oder Plazhaler, déi duerch all anere Bréif ersat ginn kann.

Shorthand Charaktere

Shorthand Zeechen, déi mat Set-Builder Notation genotzt ginn sinn:

Déi vertikale Bar oder Doppelpunkt ( | oder : Charaktere) - sinn Separatoren, déi esou gelies ginn, wéi;
De Minus epsilon ( ∈ Zeechen) - liest wéi e Element vun;
Den änner Charakter - liest net als Element.

Also, {x | x ∈ N, x > 0 } géif geliesen wéi:

"De Satz vun all x , sou datt x e Element vun der Satz vun natierleche Zuelen an x ass méi grouss wéi 0."

Sets a Venn Diagramme

A Venn Diagram - heiansdo als Set Diagram genannt - gëtt benotzt fir Bezéiungen tëschent den Elementer vu verschiddene Sets ze weisen.

Am Bild hei steet d'Iwwerlappung vum Venn Diagramm d'Kräizung vu Sete E a F (Elemente fir déi zwou Sets).

Hei fannt Dir d'Set-Builder Notation fir d'Operatioun (de Kapp ënnen "U" bedeit d'Kräizung):

E ∩ F = {x | x ∈ E , x ∈ F}

Déi rechteckeg Grenz an de Bréif U an der Ecke vum Venn Diagram representéieren d'allgemeng Setz vun all Elementer déi dës Operatioun ënner Beréierung hunn:

U = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}